AP 统计公式表 2026(含详解)

完整收录 College Board 2026 年 AP Statistics 参考公式表 — 每条公式都附上中文解释、Standard Normal(z)表、t 临界值表、χ² 临界值表,并链接到对应的维基百科条目,方便深入学习。

免责声明: 本页内容由站长整理,仅供学习参考。如果发现内容有误或与 College Board 官方公布的版本存在出入,请以官方最新发布的资料为准。

本页是 College Board 官方 AP Statistics 2026 参考公式表的可读版本。原 PDF 上的每一条公式都以清晰的 LaTeX 排版呈现,并附上简短的中文解释和对应维基百科条目的链接,方便你弄清每个符号背后的含义。

提示: 考试当天监考会发放本公式表的纸质版 — 不需要背公式。请把这页用作平时复习的参考,确保你真正理解每个符号代表什么。

关于 2026 公式表的快速答疑

考场会发吗?

会。选择题和自由问答两个部分都会附带本公式表与三张统计分布表,与本页内容一致。

可以用计算器吗?

可以。所有部分都允许使用图形计算器。公式表不能替代计算器中的分布函数(如 normalcdf、binompdf 等)。

还需要背什么?

推断的前提条件、p 值与第一/二类错误的定义、如何读懂计算器输出 — 这些公式表上没有,需要平时掌握。

公式按章节梳理

I. Descriptive Statistics(描述统计)

单变量汇总统计量(均值、标准差),以及双变量分析的基础(最小二乘回归直线、斜率、相关系数)。

样本均值(Sample Mean)

含义

所有观测值的算术平均:把所有数据加起来再除以样本量 n。它是总体均值 μ 的无偏估计。

什么时候用

需要给一份近似对称、没有极端离群值的定量数据一个集中趋势的概括时使用。

样本标准差(Sample Standard Deviation)

含义

观测值与样本均值之间的典型距离。除以 n − 1(贝塞尔修正)使样本方差 s² 成为总体方差的无偏估计。

什么时候用

用于描述数据离散程度,把数据标准化为 z 分数,以及几乎所有置信区间 / 检验统计量公式中。

最小二乘回归直线(Least-Squares Regression Line)

含义

在自变量 x 取某个值时对因变量 y 的预测。ŷ 上的「帽子」表示这是估计值,而非真实观测值。

什么时候用

在散点图大致呈线性、残差大致随机分布之后使用。

回归直线的斜率与截距(Slope & Intercept)

含义

斜率 b 表示:x 每变化一个样本标准差,y 的预测值会变化多少个样本标准差,再按相关系数 r 缩放。截距 a 让回归直线恰好经过 (x̄, ȳ)。

相关系数 r(Correlation Coefficient)

含义

无量纲的线性关系强度与方向度量。r 的取值范围是 [−1, +1]:±1 表示完全线性,0 表示无线性关系。

什么时候用

做最小二乘回归时一并报告 r。r² 是线性模型解释 y 变异的比例。

II. Probability and Distributions(概率与分布)

概率法则、离散随机变量的期望与标准差,以及考纲要求的二项分布与几何分布。

加法法则(General Addition Rule)

含义

事件 A 或 B(或两者同时)发生的概率。减去 P(A ∩ B) 是为了避免重复计算交集。如果 A、B 互斥,则 P(A ∩ B) = 0,公式退化为 P(A) + P(B)。

条件概率与乘法法则(Conditional Probability)

含义

P(A | B) 是在 B 已经发生的条件下 A 发生的概率。变形即得乘法法则:P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)。若 A、B 相互独立,则 P(A | B) = P(A)。

离散随机变量的期望(Mean / Expected Value)

含义

对每个可能取值按其概率加权求和。期望值就是把同一随机试验在相同条件下重复无数次后的长期平均结果。

离散随机变量的标准差(Standard Deviation)

含义

对(取值 − 均值)的平方按概率加权求和后再开根号。它衡量单次试验的结果通常会偏离 μX 多远。

二项分布(Binomial Distribution)

含义

在 n 次独立重复试验中(每次成功概率为 p)成功次数的分布。PMF 给出恰好 x 次成功的概率;np 与 √(np(1−p)) 分别是均值与标准差。

什么时候用

满足 BINS 四个条件时使用:Binary(结果二元)、Independent(独立)、Number of trials 固定、Same probability(每次成功概率相同)。

几何分布(Geometric Distribution)

含义

在一系列独立的伯努利试验中(成功概率为 p),首次成功出现在第几次试验上。等待首次成功的期望次数为 1/p。

什么时候用

apStatsFormulaSheet.formulas.geometric.whenToUse

III. Sampling Distributions and Inferential Statistics(抽样分布与推断统计)

通用的检验统计量与置信区间模板、卡方统计量,以及一/两总体比例、一/两总体均值与最小二乘斜率的抽样分布标准误。

标准化检验统计量(Standardized Test Statistic)

含义

AP 考试中所有 z 检验、t 检验、χ² 检验的通用模板:用样本统计量减去 H0 中假设的参数值,再除以该统计量的标准误。

置信区间(Confidence Interval)

含义

AP 中所有置信区间都是同一形式:样本统计量 ± (临界值) × (标准误)。临界值(z*、t* 等)决定置信水平。

卡方统计量(Chi-Square Statistic)

含义

把一维表或二维列联表中各格的观测频数与 H0 下的期望频数相比较。χ² 越大,表示观测数据离原假设越远。

什么时候用

用于拟合优度检验、独立性检验和同质性检验。要求所有期望频数 ≥ 5。

比例的抽样分布 — 单总体(For one population):p̂

含义

p̂ 为样本比例。来自单一总体时,其抽样分布的均值为 p(真实总体比例),标准差为 √(p(1 − p)/n)。当 p 未知时,用 p̂ 代入即得标准误。

比例的抽样分布 — 双总体(For two populations):p̂₁ − p̂₂

含义

对取自两个独立总体的样本,p̂₁ − p̂₂ 的均值为 p₁ − p₂。计算置信区间用未池化的标准误;做 H0: p₁ = p₂ 的假设检验时使用 p̂c 池化标准误。

什么时候用

p̂c 把两个样本合并,用来估计原假设所假定的共同总体比例。

均值的抽样分布 — 单总体(For one population):X̄

含义

来自单一总体时,样本均值 X̄ 以总体均值 μ 为中心,标准差为 σ/√n。当样本量 n 增大时分布会逐渐近似于正态分布 — 这就是中心极限定理。

什么时候用

总体标准差 σ 已知时使用 σ;未知时用样本标准差 s 替代,并把 z 改为 t。

均值的抽样分布 — 双总体(For two populations):X̄₁ − X̄₂

含义

对取自两个独立总体的样本,样本均值之差 X̄₁ − X̄₂ 的均值为 μ₁ − μ₂。标准误把两个总体的方差按各自样本量缩放后相加再开根。

最小二乘回归斜率的抽样分布:b

含义

最小二乘斜率 b 是真实斜率 β 的无偏估计。它的标准误依赖于残差标准差 s 与自变量 x 的离散程度。

什么时候用

用于构造 β 的 t 置信区间,或检验 H0: β = 0(即 x 与 y 之间没有线性关系)。

三张分布表

官方 PDF 末尾的三张参考表,已完整收录至此,方便检索与复制单个数值。

Table A — 标准正态分布累积概率表

每个单元格给出标准正态变量 Z 落在 z 左侧的累积概率 P(Z ≤ z)。先用行找到 z 的整数及十分位,再用列找到百分位。

示例:95% 置信水平对应 z* = 1.96,因为 P(Z ≤ 1.96) = 0.9750,左右各留 2.5% 在尾部。

z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09
0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359
0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753
0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141
0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.6517
0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879
0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224
0.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.7549
0.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.7852
0.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.8133
0.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.8389
1.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.8621
1.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.8830
1.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.9015
1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177
1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.9319
1.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.9441
1.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.9545
1.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.9633
1.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.9706
1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.9767
2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817
2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857
2.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.9890
2.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.9916
2.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.9936
2.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.9952
2.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.9964
2.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.9974
2.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.9981
2.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.9986
3.00.99870.99870.99870.99880.99880.99890.99890.99890.99900.9990
3.10.99900.99910.99910.99910.99920.99920.99920.99920.99930.9993
3.20.99930.99930.99940.99940.99940.99940.99940.99950.99950.9995
3.30.99950.99950.99950.99960.99960.99960.99960.99960.99960.9997
3.40.99970.99970.99970.99970.99970.99970.99970.99970.99970.9998

Table B — t 分布临界值表

表格主体给出 t* 值,使得右尾概率等于列标头所示,自由度由行标头给出。最后一行标注了对应的双侧置信水平。

示例:对样本均值做 95% 置信区间,df = 9 时取 t* = 2.262(列 0.025、行 df = 9)。

df尾部概率 p
..25..2..15..1..05..025..02..01..005..0025..001..0005
11.0001.3761.9633.0786.31412.7115.8931.8263.66127.3318.3636.6
20.8161.0611.3861.8862.9204.3034.8496.9659.92514.0922.3331.60
30.7650.9781.2501.6382.3533.1823.4824.5415.8417.45310.2112.92
40.7410.9411.1901.5332.1322.7762.9993.7474.6045.5987.1738.610
50.7270.9201.1561.4762.0152.5712.7573.3654.0324.7735.8936.869
60.7180.9061.1341.4401.9432.4472.6123.1433.7074.3175.2085.959
70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.5172.9983.4994.0294.7855.408
80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.4492.8963.3553.8334.5015.041
90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.3982.8213.2503.6904.2974.781
100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.3592.7643.1693.5814.1444.587
110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.3282.7183.1063.4974.0254.437
120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.3032.6813.0553.4283.9304.318
130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.2822.6503.0123.3723.8524.221
140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.2642.6242.9773.3263.7874.140
150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.2492.6022.9473.2863.7334.073
160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.2352.5832.9213.2523.6864.015
170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.2242.5672.8983.2223.6463.965
180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.2142.5522.8783.1973.6113.922
190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.2052.5392.8613.1743.5793.883
200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.1972.5282.8453.1533.5523.850
210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.1892.5182.8313.1353.5273.819
220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.1832.5082.8193.1193.5053.792
230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.1772.5002.8073.1043.4853.768
240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.1722.4922.7973.0913.4673.745
250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.1672.4852.7873.0783.4503.725
260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.1622.4792.7793.0673.4353.707
270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.1582.4732.7713.0573.4213.690
280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.1542.4672.7633.0473.4083.674
290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.1502.4622.7563.0383.3963.659
300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.1472.4572.7503.0303.3853.646
400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.1232.4232.7042.9713.3073.551
500.6790.8491.0471.2991.6762.0092.1092.4032.6782.9373.2613.496
600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.0992.3902.6602.9153.2323.460
800.6780.8461.0431.2921.6641.9902.0882.3742.6392.8873.1953.416
1000.6770.8451.0421.2901.6601.9842.0812.3642.6262.8713.1743.390
10000.6750.8421.0371.2821.6461.9622.0562.3302.5812.8133.0983.300
0.6740.8411.0361.2821.6451.9602.0542.3262.5762.8073.0913.291
置信水平 C50%60%70%80%90%95%96%98%99%99.5%99.8%99.9%

Table C — 卡方分布临界值表

表格主体给出 χ²* 值,使得右尾概率等于列标头所示,自由度由行标头给出。

示例:对一个 2 × 3 列联表做独立性检验,df = (2 − 1)(3 − 1) = 2,p = 0.05 的临界值为 5.99。

df尾部概率 p
..25..2..15..1..05..025..02..01..005..0025..001..0005
11.321.642.072.713.845.025.416.637.889.1410.8312.12
22.773.223.794.615.997.387.829.2110.6011.9813.8215.20
34.114.645.326.257.819.359.8411.3412.8414.3216.2717.73
45.395.996.747.789.4911.1411.6713.2814.8616.4218.4720.00
56.637.298.129.2411.0712.8313.3915.0916.7518.3920.5122.11
67.848.569.4510.6412.5914.4515.0316.8118.5520.2522.4624.10
79.049.8010.7512.0214.0716.0116.6218.4820.2822.0424.3226.02
810.2211.0312.0313.3615.5117.5318.1720.0921.9523.7726.1227.87
911.3912.2413.2914.6816.9219.0219.6821.6723.5925.4627.8829.67
1012.5513.4414.5315.9918.3120.4821.1623.2125.1927.1129.5931.42
1113.7014.6315.7717.2819.6821.9222.6224.7226.7628.7331.2633.14
1214.8515.8116.9918.5521.0323.3424.0526.2228.3030.3232.9134.82
1315.9816.9818.2019.8122.3624.7425.4727.6929.8231.8834.5336.48
1417.1218.1519.4121.0623.6826.1226.8729.1431.3233.4336.1238.11
1518.2519.3120.6022.3125.0027.4928.2630.5832.8034.9537.7039.72
1619.3720.4721.7923.5426.3028.8529.6332.0034.2736.4639.2541.31
1720.4921.6122.9824.7727.5930.1931.0033.4135.7237.9540.7942.88
1821.6022.7624.1625.9928.8731.5332.3534.8137.1639.4242.3144.43
1922.7223.9025.3327.2030.1432.8533.6936.1938.5840.8843.8245.97
2023.8325.0426.5028.4131.4134.1735.0237.5740.0042.3445.3147.50
2124.9326.1727.6629.6232.6735.4836.3438.9341.4043.7846.8049.01
2226.0427.3028.8230.8133.9236.7837.6640.2942.8045.2048.2750.51
2327.1428.4329.9832.0135.1738.0838.9741.6444.1846.6249.7352.00
2428.2429.5531.1333.2036.4239.3640.2742.9845.5648.0351.1853.48
2529.3430.6832.2834.3837.6540.6541.5744.3146.9349.4452.6254.95
2630.4331.7933.4335.5638.8941.9242.8645.6448.2950.8354.0556.41
2731.5332.9134.5736.7440.1143.1944.1446.9649.6452.2255.4857.86
2832.6234.0335.7137.9241.3444.4645.4248.2850.9953.5956.8959.30
2933.7135.1436.8539.0942.5645.7246.6949.5952.3454.9758.3060.73
3034.8036.2537.9940.2643.7746.9847.9650.8953.6756.3359.7062.16
4045.6247.2749.2451.8155.7659.3460.4463.6966.7769.7073.4076.09
5056.3358.1660.3563.1767.5071.4272.6176.1579.4982.6686.6689.56
6066.9868.9771.3474.4079.0883.3084.5888.3891.9595.3499.61102.7
8088.1390.4193.1196.58101.9106.6108.1112.3116.3120.1124.8128.3
100109.1111.7114.7118.5124.3129.6131.1135.8140.2144.3149.4153.2

常见问题

会。每位考生都会拿到与本页内容一致的公式表与三张分布表,选择题与自由问答两部分都可以使用。